辩证法认为，事物的变化是绝对的，静止是相对的．在数学中，寻求变化中的不变性是数学研究的重要任务，变化中的不变性也就是数学对象的性质，例如，无论怎样的三角形，其内角和均为180°，多边形外角和360°等等．另外，数学对象在变换（平移、对称、旋转等）过程中，利用其角、距离等的不变性可以帮助我们克服解题中的困难．

例1（2015北大“博雅计划”）

在正方形ABCD内一点P到三个顶点的距离之比，则

【分析】如图，若直接求解的大小，在三角形APB中，按照余弦定理，显然条件不足，但没能用到PC=3a的条件，为了利用所有条件，将三角形APB绕点B按照顺时针旋转90°，则三角形，问题转化为求的大小，注意到旋转过程中，进而为等腰直角三角形，，，由于，，由勾股定理，，所以．

练习 如图AC=3AB，P为半径为1圆上的任意一点，以CP为边作正三角形，求最大值．

【简解】如图，将三角形顺时针旋转60°，得三角形，则，问题转化为“当P点在圆周上运动时的最大值”，数形结合知，的最大值为3.

例2 求的值域.

【分析】这是一道求一元函数的最值问题，可以有多种方法，例如求导等，但如果利用平移变换，特别是在直角坐标系下左右平移值域不变的性质，就可以实现转化，也就是说，函数与函数的值域相同，，当时，

，令，则

，，所以，同理可得，当时，

此时，，．

练习1（2013北约第9题）对任意的，求的值．

【简解】根据题意，所求式子的值与没有关系，我们不妨取，此时，所求式子的值为10，有了这个基本的结果，我们就可以有目的的进行运算了．

．

练习2 设，则的值为

【简解】作为填空题，所求式子的值显然与x的取值无关，可取，结果等于2.

．

练习3 已知双曲线的离心率为2，过右焦点F作动直线l交双曲线于A，B两点，现以AB为直径作圆，求圆被相应准线截得劣弧度数为

【简解】根据题意，圆被相应准线截得劣弧度数与直线l的具体位置无关，因此，我们取l的特殊位置，即垂直时即可（如图所示），此时，圆心为，半径为，准线为，所以圆被相应准线截得劣弧度数为．

例2 已知，为的一个排列，求证： ．

【分析】由于为的一个排列，它们的和与积保持不变，利用，利用均值定理即得．

例3（2011北京大学自主招生）

已知、、是圆上的三点，且满足，．证明：．

【分析】根据题意，由于圆上的三个点是均匀分布的，虽然点的位置不确定，但它们之间的夹角为是不变的，利用这样一个不变性，我们就可以获得如下解决思路：

设，， ，O为坐标原点，，

即,且又，所以夹角为．

令，

则，

，

则．

同理可证．