三、变与不变

辩证法认为,事物的变化是绝对的,静止是相对的.在数学中,寻求变化中的不变性是数学研究的重要任务,变化中的不变性也就是数学对象的性质,例如,无论怎样的三角形,其内角和均为180°,多边形外角和360°等等.另外,数学对象在变换(平移、对称、旋转等)过程中,利用其角、距离等的不变性可以帮助我们克服解题中的困难.

例1(2015北大“博雅计划”)

在正方形ABCD内一点P到三个顶点的距离之比,则

【分析】如图,若直接求解的大小,在三角形APB中,按照余弦定理,显然条件不足,但没能用到PC=3a的条件,为了利用所有条件,将三角形APB绕点B按照顺时针旋转90°,则三角形,问题转化为求的大小,注意到旋转过程中,进而为等腰直角三角形,,由于,由勾股定理,,所以

练习 如图AC=3AB,P为半径为1圆上的任意一点,以CP为边作正三角形,求最大值.

【简解】如图,将三角形顺时针旋转60°,得三角形,则,问题转化为“当P点在圆周上运动时的最大值”,数形结合知,的最大值为3.

例2 求的值域.

【分析】这是一道求一元函数的最值问题,可以有多种方法,例如求导等,但如果利用平移变换,特别是在直角坐标系下左右平移值域不变的性质,就可以实现转化,也就是说,函数与函数的值域相同,,当时,

,令,则

,所以,同理可得,当时,

此时

练习1(2013北约第9题)对任意的,求的值.

【简解】根据题意,所求式子的值与没有关系,我们不妨取,此时,所求式子的值为10,有了这个基本的结果,我们就可以有目的的进行运算了.

练习2 设,则的值为

【简解】作为填空题,所求式子的值显然与x的取值无关,可取,结果等于2.

练习3 已知双曲线的离心率为2,过右焦点F作动直线l交双曲线于A,B两点,现以AB为直径作圆,求圆被相应准线截得劣弧度数为

【简解】根据题意,圆被相应准线截得劣弧度数与直线l的具体位置无关,因此,我们取l的特殊位置,即垂直时即可(如图所示),此时,圆心为,半径为,准线为,所以圆被相应准线截得劣弧度数为

例2 已知的一个排列,求证:

【分析】由于的一个排列,它们的和与积保持不变,利用,利用均值定理即得.

例3(2011北京大学自主招生)

已知是圆上的三点,且满足.证明:

【分析】根据题意,由于圆上的三个点是均匀分布的,虽然点的位置不确定,但它们之间的夹角为是不变的,利用这样一个不变性,我们就可以获得如下解决思路:

,O为坐标原点,

,且又,所以夹角为

同理可证