一般情况下，我们为了解决问题而引入参数，再由几何条件获得参数与常数之间的代数关系，接下来就要根据要解决的问题消参（消元）了，从表面看，只是考查运算能力，但实际上，如果对运算目标、运算路径、运算算理的理解等不到位，那么，不只是影响运算速度和准确性，更有甚者，理论上可以完成的运算，实际操作中却无法完成．因此，消参看似运算问题，实际上是对知识和算理的理解能力．

例9 已知点A(-1,0)是抛物线上一定点，B、C是其上的动点，且，当点B运动时，求点C横坐标的取值范围．

【分析】第一步，审题：明确已知和所要解决的问题是什么．

“已知点A(-1,0)是抛物线上一定点”“点的坐标适合方程”，

“B，C是其上的动点”设，，则，，

“”“” “”

要解决的问题：求的变化范围．

第二步，思路分析

由于这是一类求参数范围的问题，求范围问题的一般思路是利用函数思想，也就是需建立与其他参数之间的函数关系，由于有三个变量，所以，需要消元，转化为一元，由于，，这样就可以化为形如的一元函数了，接下来问题转化为求这个函数的值域就可以了．

第三步，运算求解

确定运算目标．目标是得到，从而，由等式出发，利用，消去，由于，，恒等变形为

，

由题意，，得

当时，利用基本不等式可得，；

当时，利用基本不等式可得，．

第四步，检验结果

当时，，成立；当时，，成立．

所以，C点横坐标的取值范围是．

第五步，反思归纳

这是一道典型的解析几何问题，即用代数方法求曲线上一动点横坐标的范围，从解题思路角度，需要将所求问题坐标化，因此，需要引入参数（点参），将几何条件代数化，为了解决问题，又需要消去参数，这就需要选择运算方向，运算手段，但整个过程，都是围绕建立的一元函数这一目标展开，进而转化为一元函数的最值问题了．

例10 如图，已知抛物线的焦点为F．过点的直线交抛物线于，两点，直线AF,BF分别与抛物线交于点M，N．记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：为定值．

【分析】第一问所求的问题是求的值，是什么呢？是过定点的直线与抛物线的两个交点A，B的纵坐标．

思路1 引入直线AB的斜率作为参数，设直线AB的方程为．

将其代入抛物线方程，消去，整理得 ．

由于，由已知，，根据根与系数关系，．

思路2 由于是过定点的直线与抛物线的两个交点A，B的纵坐标，点，在抛物线上，即

，①

，②

又知点A，P，B三点共线，即，，③

只需由①②③消去，即可，即，将，代入③，得

，

当时，

当时，

可见，虽然几何条件代数化的途径不同，但只要理解解析几何的基本思想，等价转化，在明确问题的基础上，选择恰当运算路径，就能顺利达成目标．

（Ⅱ）首先，明确问题，即“证明”，其中，，

设，， 则 ．

要证明比值为常数，就需要消元，8个参数，将用（）表示，

，

此时，上式含有4个参数，如何进一步减少参数的个数呢？

M，N两点不只在抛物线上，还有A，F，M三点共线（或直线AF与抛物线的交点），

设直线AM的方程为，将其代入，消去，

整理得 ，由根与系数关系，所以 ．

同理可得 ．

故，到此，减为只含两个参数．

由（Ⅰ）得，故 ，为定值，命题的证．

以下再举几个典型的消参的例子，请读者体会消参的基本思路．

例11 如图，椭圆C：短轴的左右两个端点分别为A、B，直线l：与x，y轴分别交于E、F两点，与椭圆交于C、D两点．

（Ⅰ）若，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为，

若，求k的值．

【分析】（Ⅰ）此问题是求直线的方程，也就是求出k的值，而要求出k值，只需要建立关于k的一元方程即可，显然，此方程可由条件得到，因此，可设，

由 得，

，

，， ①

又，，，得

，即

，②

由①②消去，可得．

（Ⅱ）此问题的思路很清楚，就是由，建立关于k的方程．

由于，，所以，，

由，得，

此时，式子中含有四个参变量，如何消参成为关键．

显然，应将转化为．将转化为，一般有两种途径，一种方法是由进行转化，一种方法是由进行转化．第一种途径是一次式，运算量较少，但含有参数．第二种途径虽然没有含参数，但是二次式，运算稍微复杂一些．下面我们比较一下两种消参方法．

第一种方法：由，，及，得

，接下来整理，但无论如何，很难出现只含有与的式子，运算受阻！

第二种方法：利用，消元．

但两式均为二次式，但可以将已知式平方得，

由已知，，代入上式，

计算得，即，

此时，就可以利用根与系数关系的结论求解了．

所以，解得，或，

因为，，所以异号，

故舍去，所以.

通过两种方法的比较，进一步体会消参时，应克服定势思维，一味的通过直线方程消参，而应看到，既然是交点，它也在二次曲线上，也可以利用二次式进行消元，每种方法各有利弊，做题时应根据具体问题灵活选择．

例12 已知曲线

（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（Ⅱ）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．

【分析】（Ⅱ）要证明的问题是“A，G，N三点共线”，即只需证明 “”即可． 由于MN是直线与椭圆的交点，

联立得，

当时，设，，

此时有，．

由于直线MB的方程为，令得，，

则，，

要证明，从上式结构看，直接证明是困难的，因为中本质上只含有参数，

中本质上只含有参数，但已知条件是关于的关系的，所以，把证明左右两边相等关系转化为它们的差为零或商为1，即通过运算建立与之间的关系，这就是转化的思想．

由于，,

所以，即．

为了掌握不同的消元思路与方法，我们对本题的第二问做如下变式：

（Ⅱ）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,求证：直线AN与直线BM的交点在一条定直线上．

如何证明两直线的交点在一条定直线上呢？

由于两条直线均为动直线，我们先可以通过特殊位置对定直线做一个初步的判断．根据图形的对称性，k互为相反数的两条直线的交点关于y轴对称，所以，定直线一定是平行于x轴的．有了这样一个大方向，我们就能有的放矢的做相应的运算了．

联立,得，

当时，，，

设，

直线AN方程为①

直线BM方程为②

联立两条直线后，我们消参的方向是得到y等于某一常数，所以

①÷②联立,得，

这时，无法使用韦达定理，运算受阻了！

消参方向（一）如果能先探求出定值是什么，我们就可以利用运算进行证明了．如何获得这条定直线呢？考查极限情况，当直线与椭圆相切时，，解得，此时，，则．（此结论也可以在第一象限通过求导获得）．

如果事先知道定直线一定是，那么，

即要证明

即

由于

由韦达定理

命题的证．

消参方向（二）

当两条直线联立得到后，为了得到常数，我们可以换一个方向思考，即不是将式子利用韦达定理转化为k的表达式，而是把k转化为关于的表达式．

由，，得

，代入上式化简，得．

通过上述问题解决过程，读者是否对消参策略有了新的认识呢？