自由读 — 二、对基本初等函数的理解

这里所说的基本初等函数，是指高中数学课标范围内的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而高中阶段研究的函数主要基本初等函数及其四则运算、复合运算、变换（平移、伸缩、对称、旋转等）构成的函数，所谓对基本初等函数的理解是指建立初等函数与基本初等函数之间的联系，这样就可以利用基本函数的性质研究较为复杂的函数的性质了．

（1）幂函数

高中数学课程标准（2017）中的幂函数是指，，，，等．下面看看这些幂函数经过平移、伸缩、对称得到的函数之间的关系，进而可以通过基本函数性质研究较为复杂函数的性质．

①分式函数的图像与性质

通过上表可以看出，将幂函数经过一系列变换：→（）→，最后形成形如的形式，这样，我们就建立了分式函数与幂函数的关系，理解了为什么见到函数要进行分离常数，为什么图像关于点成中心对称，为什么图像称为双曲线等等．

②无理函数的图像与性质

幂函数，也就是，，它的图像是抛物线的一部分，通过对进行伸缩、平移即可得到的图像，所以，它的图像仍然是抛物线．

③二次函数的图像与性质

二次函数的图像是由经过伸缩、平移得到，这样，我们就能理解为什么二次函数的图像是抛物线，为什么函数与函数的图像是 “全等的”，当然，还可以从研究一般函数的方法，即导数对二次函数进行研究，进一步就可以理解判别式与极值之间的关系等．另一方面，我们换可以利用平移的不变性将问题进行转化，例如，利用水平移动函数图像其值域不变的性质将复杂函数的值域转化为简单函数的值域等．

④三次函数的图像与性质

第一，三次函数图像的对称性

幂函数经过伸缩、平移变换得到形如的形式，也就是说，这类函数图像是直接能够画出来的，但对于一般的三次函数（），并不能通过幂函数经过伸缩、平移变换得到．但我们总可以通过代数变形，把通过配方转化为（其中）的形式，由于为奇函数，图像关于原点成中心对称，所以，的图像关于点成中心对称，这是三次函数的重要性质．

例2-6已知函数，下列结论错误的是：

①；

②函数图像是中心对称图形；

③若是的极小值点，则在区间上单调递减；

④若是函数的极值点，则．

此问题主要考查三次函数的图像与性质，只要知道了其图像特征，很容易获得问题的答案．

例2-7设直线与曲线有三个不同的交点A，B，C，且，则直线的方程是．

此问题是要求满足条件的直线的方程，也就是说要确定斜率与截距，条件是三次函数与直线相交满足，由于此三次函数图像关于点成中心对称，点B一定是对称中心，当时，，，所以直线的方程为．

例2-8 设函数（），为函数两个不同的极值点，若不等式成立，求的取值范围．

此问题为求参数范围问题，一般有两个思路，一个是由已知条件建立关于参数a的不等关系，解不等式得到；二是，通过参变分离，建立参数与变量之间的相等或不等关系，利用函数思想加以解决．

如果从概念理解的角度出发，我们可以通过已知条件获得更多的信息．例如，为最高项系数为1的三次函数，有三个零点，图像关于点成中心对称，对称中心若用极值点表示为，即与是等价的，这样，我们就能获得以下两种解法：

分析1：为函数两个不同的极值点，即为方程两个不同的实根，进而有，．

又，即，

用，加以表示，转化为关于a不等式，解得．

分析2：由于函数图像关于点成中心对称，所以，，解得．

通过对比，第二个思路简捷与运算量较小，这都得益于对三次函数图像几何特征的认识．

第二，三次函数的切线

利用函数的切线，可以在局部范围内实现“以直代曲”，从而将复杂问题简单化．当然，利用函数的切线还可以构建各类不等式，从而实现转化．

三次函数的切线与其他幂函数的切线相比较为复杂，下面我们以一道高考题为例，总结一下三次函数切线的相关结论．

例2-9 已知函数．问：

（Ⅰ）若过点存在三条直线与曲线相切，求t的范围；

（Ⅱ）过点分别存在几条直线与曲线相切？

分析：设过点的直线与曲线相切于点，

则切线方程为．

由于点在切线上，因此，

整理得．

令，

则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”．

由于，所以，，分别是的极大值与极小值．

由函数的单调性可知，“有3个不同的零点”等价于“，且”，得．

所以，当时，过点有3条直线与曲线相切．

一般的，对于一元三次函数，其切线的个数有如下结论：

（图中l为过三次函数的图像中心且与三次函数相切的直线，l与将平面区域分为四个区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ）

当点P位于Ⅰ，Ⅲ部分时可以作三条切线；

当点P位于Ⅱ，Ⅳ部分时可以作一条切线；

当点P位于直线l上且不与M重合时可以作2条；

当点P位于上且不与M重合时可以作2条．

⑤幂函数与函数

对于一般的正整数幂函数，将其图像向左平移一个单位得到，其在处的切线为，根据函数的凹凸性，我们有不等式

，当且仅当取等号，这就是著名的Jacob Bernoulli不等式．

下面，我们举一个利用有理函数凹凸性与切线建立不等关系解决问题的例子．

例2-10已知，，求证：.

分析：要证明的是一个不等式，左边含有结构相同的三个式子，右边为一常数，这样，就可以构建一个函数，要证明的不等式即为：在条件下，证明，当然，这样的结构可以用琴生（Jensen）不等式（后面再详述）

这里我们在判断凹凸性的基础上利用切线建立不等关系加以证明，问题是我们选择哪一点处的切线，根据对称性，当时取等号．

，

三式相加，又，从而得证．

当然，这里的前提是．

，由于

所以．

（2）指数函数

相对于一般的指数函数，它的特例有更广泛的应用，主要是利用指数函数的凹凸性、单调性，通过特殊点的切线建立不等关系，去解决较为复杂的问题．

下面主要研究几个重要不等式及其变形．

①，当且仅当时取等号．

这个不等式反映的是指数函数与其在点处的切线之间的关系，它的证明较为简单，只需要构建新的函数，证明的最小值为0即可．

这个不等式的重要作用是将超越函数转化为线性函数．

由这个不等式出发，在一定的条件下还可以获得一系列重要不等式，例如

当时，有，即，

将上式中的换成，得到，

综上，就能获得重要不等式．

②，当且仅当时取等号．

这个不等式反映的是指数函数与其在点处的切线之间的关系，这个不等式的特点是一次函数不含常数项，可以简化代数运算，它的证明与第一个不等式类似，这里略去．

当然由这个不等式出发还能得到更多的不等关系．例如得．

（3）对数函数

由于指数函数与对数函数互为反函数，图像关于对称，所以，完全可以类比指数函数的不等关系获得对数函数的重要不等关系．

①，当且仅当时取等号．

②，当且仅当时取等号．

同样，从这两个不等式出发，可以获得一系列不等关系，目的是将超越函数转化为有理函数．例如，由不等式①可得，

将不等式两边取对数，得到，

即，

将x换成得，．

在此基础上也可以获得

．

当然，上述不等式也可以通过泰勒初等展开获得．

，

当然还可以获得三角函数的相关不等式（后面还会提到）

，

下面，我们看几个应用不等式解决问题的例子：

例2-11（2013高考全国卷Ⅱ理科21）

已知函数．当时，证明．

此问题是要证明在特定条件下函数值大于零，即最小值大于零即可，由于参数时，总有，所以，只需证明即可．下面从对概念理解的角度给出两种思路：

解法1

当时，，

令，则，

由于，所以在单调递增，

又，，

所以在存在唯一零点，且，

所以在递减，在递增

所以

由于，所以，即．

解法2：

当时，，

由于这个函数是由指数函数与对数函数构成的，而这两个函数之间可以通过切线或等建立联系，从而实现指数函数与对数函数之间的转化．

由于，，进而，，，

所以（等号不能同时成立），即．

当然，在此之前需分别证，成立．

在具体应用这些不等式解决问题时，有时需要根据问题的特点对不等式进行调整，得到更多的不等式，我们先看下面的例子：

例2-12已知函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

分析：就是根据函数有两个零点，建立关于参数a的不等式，从而解出a的范围．

为了便于研究，将问题转化为与有两个不同的交点．

我们先讨论函数的单调性．

，所以在递增，在递减，是函数的极大值．但这时我们不能贸然就下结论：时，与有两个交点，因为我们还需要考虑和时函数的变化情况．由于现在施行的高中课标不讲极限，所以，我们要说明零点存在，就要根据存在性定理，具体找出一个，这就成为零点问题的难点．例如，本题需要说明下列两个问题：

①证明：与在上恒有一个零点．

即证：，，使得．

如何找呢？最简单的想法是让，解出，但这是一个超越方程，无法解出，这时我们的想法是对函数根据需要进行放缩，例如若能通过放缩得到，且是可解的，就可以将属于定义域范围的解作为，具体如下：

因为，所以，

令，得，由于，所以．

令，则

得证．

②证明：与在上恒有一个零点．

即证：，，使得，

则，

令，则，

问题得证．

在此问题的解决过程中，我们可以看到与不等式类似的不等式，例如，，对数不等式等.这些不等式各有优点，可灵选取．

（4）三角函数

三种基本三角函数，，经过平移、对称、伸缩变换可得到较为复杂的三角函数型的函数，所以，理解它们之间的内在联系，有助于解决较为复杂的问题．

①曲线与方程观下的图像变换

研究形如的性质，最快捷的方法是画出函数的图像，由图像得到性质．在高中阶段，一般采用“五点法”、“图像变换法”画函数的图像，但在使用“图像变换法”画图时，由于对图像变换与相应的解析式之间的关系缺乏本质的理解，往往变换顺序调整或是解析式形式改变都可能出错，怎么理解才是本质的呢？个人认为，把函数解析式看作方程，利用曲线与方程的关系容易理解，且减少错误．例如，将图像向右平移个单位，再将横坐标缩小为原来的，得到图像对应解析式为．

设是图像上任意一点，将点向右平移个单位，得到点，再将横坐标缩小为原来的得到点，则所有点的轨迹就是变换后图像对应的解析式．所谓点的轨迹，就是动点横纵坐标之间的关系，那么，当点在图像上运动时，动点的横纵坐标之间有什么关系呢？

令，，由得，，这就是变换后的解析式．这样的做法就不必死记没有理解的一些口角，如“左加右减”等．反之，如何由通过变换得到的图像，可将变形为令，令，，则，可见是上一点，而是上任意一点，这两者之间的关系是，，用自然语言叙述为“向左平移个单位，横坐标缩小为原来的，再将纵坐标官大为原来的3倍”．

②三角函数性质的再认识

三角函数是中学生学过的性质最多的一种函数，特别是周期性、对称性等，从更广泛的角度认识这些性质，有助于灵活解决相关的问题．

i）零点、最值点的横坐标构成公差为的等差数列；任意两个最值点或零点间的距离是的整数倍，零点与最值点之间的距离是的奇数倍．

ii）单调区间的最大长度为，即当时，不在同一单调区间内．

iii）若，当时，在同一单调区间内；当时，不在同一单调区间内．

③正弦函数在原点处的切线

正弦函数在原点处的切线为，根据在上的凹凸性，可得如下重要不等式，当且仅当时取等号．这个不等式实现了三角函数向一次函数的转化．

下面看几道考查三角函数的题目，注意体会性质的理解对解题的影响．

例2-13（2016高考全国卷，理科12）

已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 .

A.11 B.9 C.7 D.5

【分析】此问题的思路很明确，由已知条件获得的等式或不等式，然后利用条件找出其最大值．作为选择题，当然可以逐个检验四个选项，这里我们将通过推理直接获得答案．

由“为的零点，为图像的对称轴”可得，，，即，，为奇数．

由“在单调”知，，即，所以，最大为11.

当时，由“为的零点”得，，从而．

此时，经检验，在区间不单调．

同理，时适合题意．

例2-14（2014高考北京卷理科14）

已知函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为．

分析：本题的思路很明确，就是根据所给条件求出的值．由“在区间上具有单调性”可得，，即；

由“” 可知，函数在区间上一定有零点，且为区间的中点，即；由“”可知，在与相邻的单调区间内，所以，与的中点即为函数的对称轴，零点与对称轴之间的距离为，即函数的，所以．

（5）几个特殊的初等函数图像与性质

这些函数是由特殊的指数函数，对数函数和简单的幂函数通过加、减、乘、除四则运算得到的函数．研究这些函数的图像与性质对于深刻理解指数函数、对数函数及其切线构造的不等关系具有重要作用．研究方法是：作出草图→性质→应用．主要研究9个函数，这些函数的图像如下：

①， ②，

③ ④，

⑤， ⑥

⑦ ⑧

例2-15（2014全国卷Ⅰ理科21）

设函数，证明：．

分析：这个问题从表面看是一个不等式证明问题，实际上是一个求函数的最小值问题，关键是根据所证不等式构建恰当的函数，而不同函数的构建，取决于对所证不等式的等价变换，取决于对基本函数及其衍生函数的图像与性质的掌握程度．下面给出几种不同构建函数的方法，请读者体会如何构建不同的函数、构建不同函数对解题的影响．

思路1：问题是证明不等式，由于，所以只需证，