这里的函数问题是指当我们拿到一份包含了几何、向量、复数、概率等内容的一套高考试卷时，首先从类别上判断它是一道函数题，并在此基础上能从宏观到中观，以至于微观的角度逐步有序地加以解决的问题．从上述意义出发，我们就可以给出这样的一条思维线索，这可称为函数问题的宏观解题策略：

下面我们通过一个简单的例子，我们看看上述策略对解题的作用．

例2-17 求的最小值.

首先，这是一道求函数最值的问题，是一类函数问题，而且所给的函数是一个二元函数，没有约束条件，说明两个变量是独立的，对于高中生而言，这时候我们就可以先把它看作关于y的一元函数二次函数，求出其最小值，而最小值是含有变量x的，在求其最小值，两次最小值同时取得时，就是所求问题的答案了，具体如下：

，当且仅当取等号．

而，当且仅当时取等号，综上的最小值为，当且仅当，时取得最小值．

若要解决的问题为：实数满足，求的最小值．同样是函数最值问题，但是有约束条件的，而且是等式，这时，我们按照此策略，就要通过等式进行转化，将二元函数转化为一元函数从而求解．若要解决的问题为：实数x，y满足，求的最大值．同样是有约束条件的二元最值问题，但约束条件是不等式构成的区域，这时候就可以类比线性规划问题的解决策略处理了．

当我们遇到的是一元函数时，又怎样有序地思考进而找到问题的答案呢？

一般情况下，在中学研究一个函数时往往是通过“图像---性质---图像”来进行的，所以，当我们遇到一个函数如果是基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等），或在其基础上，通过平移、对称、伸缩、旋转等得到的函数时，是直接能够画出函数图像的，对于不能直接画出函数图像的一元函数，我们先通过解析式的代数性质找到函数的几何特征，画出函数的草图，然后借助几何直观获得问题的解题思路，或研究函数进一步的性质．

例如，我们遇到这样的问题：已知函数，若方程有两个根，求k的范围．显然，这个函数是能够画出图像的，它其中的一段是由幂函数平移而得到．如果遇到的问题是：求在上的最大值与最小值，这时，函数图像是不能直接画出的，我们可以借助解析式的代数性质，例如定义域、对称性、零点、单调性、极值、渐近线、最值等信息，画出函数图像的草图，然后借助几何直观找到问题的解决路径．对于高考中的函数问题大多属于这种类型．

先举几个典型的例子，请读者体会．

例2-18 已知函数有两个零点.

（Ⅰ）求的取值范围.

（Ⅱ）设是的两个零点，证明：.

分析：第一问的思路很清楚，关键是由函数有两个零点，得到关于a的不等关系．那么，这个函数到底是如何变化的呢？显然，我们不可能直接画出函数的图像，所有信息都在所给的函数表达式中．首先，定义域为R，非奇非偶函数，恒过点，，接下来要研究这个函数最重要的性质单调性了．

思路一：由已知，，，

，

（1）当时，在递减，在递增，，，时，所以，有一个零点；

（2）当时，在递减，在递增，在处取得最小值，又，所以，在上有一个零点，现在，只需要判断在上是否有零点就可以了．

如果不严格推理，也可以这样说，由于时，，，所以，所以，在上一定有一个零点，从而有两个零点；

如果按照现有的高中课标，不用极限，就要根据存在性定理，在上找出的一个零点来，这是一个难点．

按照常规的想法，只要令，即解出一个在上的跟就可以了，但这是一个超越方程，无法解出，这时，我们就需要转化，将超越方程转化为初等方程，如何转化呢？

问题转化为，是否存在，使．

由于时，，，

所以，

这时，令，解得，

我们取，则，

由于

根据零点存在性定理，，，由在单调，所以有一个零点．

综上时，有两个零点．

我们再来看看命题组给出的参考答案：取，且，，则．

如何想到的？实际上也是利用放缩，只不过这些放缩都是“精心设计”的罢了．

取一方面是要在区间上，另一方面，保证恒负，这样，才能使其与不等式相乘时变成大于号．

，由于，此时可以利用放缩，但由此解出的的表达式比较复杂．继续调整，让，这样解出的b要简单一些，继续让，直接就可以判断式子大于零了，此时，只需要在基础上加强一些，让就可以了．

这时找零点问题的基本思路．

接下来，我们继续完成后续的讨论．

（3）当时，令，得，或，

①若，即时，，为增函数，最多一个零点；

②若，即时，在递增，在递减，递增，由于，最多一个零点；

③若，即时，递增，在递减，在递增，且时，，所以最多一个零点．

综上，第一问的答案是．

思路二：将参变进行分离，从而零点问题转化为两个函数的交点个数问题．

函数有两个零点方程有两个根，方程有两个根方程有两个根函数与函数图像有两个交点．

令，，结合定义域和零点，可得的图像如下：

显然时，有两个交点．当然这种做法需要讨论渐近线以及自变量趋近于端点时的极限，对中学生而言不是十分严格．

思路三：部分分离

由得，

，

令，则，结合零点画出的图像，如下图所示．这时a的几何意义是过点的直线的斜率．同样可得．

（Ⅱ）第二问是要证明在的条件下，两个零点之和小于2．若直接说明是不可能的，因为一个零点在上，另一个在上，因此，只能从整体上考虑．

思路一：由第一问知，此时在递减，在递增，不妨设两个零点分别是和，且，则，．

要证明，即证，由于，在递增，

利用单调性，只需证明，

由于，即证，

由于，且，

所以，

令，，

，，不等式成立，原命题得证．

思路二：设函数与函数图像的两个交点的横坐标为．不妨设，则，要证明，即证，

由于在递减，只须证明，即证，

令（），只需证的最大值小于零．

下同思路一，略．

下面再举两个利用放缩找“点”的例子．

例2-19 已知函数，若曲线与直线有两个不同的交点，求b的取值范围．

分析：所给函数是偶函数，由于，所以在为增函数在上为为减函数，，

时，曲线与直线没有交点；

时，曲线与直线一个交点；

现在的难点是不用极限，说明当时，曲线与直线在上一定有一个交点．

因为，只需在上找一个使得．

直接无法通过解方程解出，所以要先进行放缩，

时，，令，解得

，取，则，

根据零点存在性定理，在上有一个零点，由于在上单调，所以在上有一个零点，由于为偶函数，所以曲线与直线有两个不同的交点．

当然，为了使找到的更简单些，还可以在利用二次函数进行再次放缩，直至一次函数，例如（其中就是函数在点出的切线，根据二次函数是下凸的得到的不等式），令，取，这样就简单些．

当然还可以取等等．

例2-20 （2016高考山东卷理科21）

已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：对任意的成立.

分析：这道题从思路上没有难度，难就难在第二问证明“对任意的成立”时，，这是一个项数很多的复杂函数，如何求这个函数的最小值呢？注意到这个函数的结构特点，我们将它看作两个函数，

的和，从而分别求出这两个函数的最小值，只要相加大于就可以了．

解：（Ⅰ），，

①当时，在大于零，在小于零，

所以在递增，在递减；

②当时，

若时，所以在和递增，在递减；

③当时，在递增；

④当时，所以在和递增，在递减；

（Ⅱ）时，，，

令，

，

，由于，所以，使得

在递增，在递减，

由于，，所以，

由于不能同时取得最小值，所以．

下面看几道利用基本函数构建的不等式解决问题的例子．

例2-21已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）若，证明：

分析：这个题目的关键是第Ⅱ问，由（Ⅰ）得，，当且仅当时取等号．

这就是我们前面提到的指数函数中重要的不等关系，那么，这个式子与第二问要证明的不等式有什么关系呢？我们的思路来源于对所求式子的结构的认识，所证明的不等式为

，

令．

由于，

在不等式中，令，得，

两边同时n次方，得，

则，

原不等式得证．

为什么所证不等式的左边构造的函数是．而不是，主要是为了出现不等式中的“”的结构．

例2-22设函数．

（Ⅰ）研究函数的极值点；

（Ⅱ）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；

（Ⅲ）证明．

分析：这道题的第三问与上一题类似，由第二问可得，当且仅当时取等号，这也是由基本的函数对数函数构建的重要不等式．如何将与联系起来是解决问题的关键．

我们同样从左边式子的结构特征出发去思考．显然，左边每一项共有的结构是，所以，我们构建函数，这时所证不等式为

由，得，

所以

又，

，

原不等是得证．

下面的几道题是综合应用基础知识的高考压轴题．

例2-23（2017全国Ⅰ卷理数21）

已知函数；

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求a的取值范围．

主要分析一下第二问的思路：

分析1：

，

①，，单调递减，最多一个零点；

②，，

当时，

当时，可以证明，所以

，

令，得，

取，．

所以，为两个零点．

分析2：分离常数

方程有两个根，

所以，

令，

在递增，递减，

，

又，时，，

当时，

，则与在有一个交点；

时，

令，得

取，则

则与在有一个交点

时，最多一个交点．

例2-24（2017全国Ⅱ卷文数21）

已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，，求a的取值范围．

（Ⅰ）略．

（Ⅱ）分析1：构建新函数，求最大值．

，

，

递减，所以，

①当时，，递减，所以不等式恒成立；

②当时，，，所以，

所以在大于零，在递增，不等式不成立；

③时，当，，，

则，

令，得，

所以，使得，而，

存在，使得在递增，不等式不成立；

综上，．

分析2：分离参数，，

，

，

，

，

所以在递减，，

所以，

在递减，，

，

令，

则，

综上，，

分析3：，

令，则，

①当时，成立；

②当，可以证明，

若，则，

而，

取，，

③时，

，则，

取，，不成立，

综上，．

例2-25（2017全国Ⅲ卷理21）

已知函数．

（Ⅰ）若，求a的值；

（Ⅱ）设m为正整数，对于任意正整数n，，求m最小值．

我们主要分析本题的第二问．

由第一问可知，，即，

，，……，，

，

又，

所以正整数m的最小值为3．

例2-26已知函数满足；

（Ⅰ）求的解析式及单调区间；

（Ⅱ）若，求的最大值．

分析：（Ⅰ），

令，得，

，

从而，

在上单调递增，

，

得的解析式为，

且单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）得，

①当时，在上单调递增，

时，与矛盾．

②当时，，

得：当时，

令；则，

，

当时，，

当时，的最大值为．